Propósito de unidad: Analiza las funciones trigonométricas y las aplica en la resolución de problemas de su entorno. 

 

Plano coordenado cartesiano

En matemáticas se emplean dos rectas perpendiculares numeradas para elaborar un método de localización de puntos. La recta horizontal se llama eje X o eje de las abscisas; la recta vertical se llama eje Y o eje de las ordenadas. El punto de intersección de las dos rectas se llama origen. Un par de números llamados coordenadas indican la ubicación de cada punto.

 

Coordenadas: líneas que se emplean para establecer la posición de un punto y de los planos o ejes vinculados a ellas. Se conoce como sistema de coordenadas al conjunto de los valores que permiten identificar de manera inequívoca la posición de un punto en un espacio euclídeo (un tipo de espacio geométrico). Los sistemas de coordenadas más simples se definen sobre espacios planos.

Abscisa: Es una coordenada de dirección horizontal que aparece en un plano cartesiano rectangular y que se expresa como la distancia que existe entre un punto y el eje vertical. El denominado eje de abscisas representa al eje de coordenadas horizontal.

 

Ordenada: Distancia que hay, en un plano, entre un punto y un eje horizontal, medida en la dirección de un eje vertical.

Ángulos de rotación 

Cuando un rayo AB gira alrededor de su origen A, hasta AC, genera el angulo de rotación α. Si el rayo se mueve en dirección contraria a las manecillas del reloj, el angulo es positivo, si se mueve en el mismo sentido de las manecillas es negativo.

Angulo en posición normal y ángulos coterminales 

Un angulo esta en posición normal si su vértice es el origen y su lado inicial esta sobre la parte positiva del eje X.  Puesto que el lado inicial de un angulo en posición normal esta sobre el eje X positivo, entonces el lado final estará en un rayo que une el origen como un punto P (x,y).

Puedes checar este vídeo acerca del tema para mayor entendimiento:

Los ángulos se pueden medir en grados o radianes.
Un radián son 180/π grados, aproximadamente 57.296°

Un radián es:

el ángulo que se consigue cuando se toma el radio y se enrolla sobre el círculo.

Así que un radián «marca» una longitud de circunferencia igual al radio.

Hay 2π radiantes  en un circulo completo

Es decir, si cortas trozos de cuerda de longitud exactamente igual a la distancia del centro del círculo hasta el borde, ¿cuántas te hacen falta para dar una vuelta alrededor?

Respuesta: 2π, más o menos 6.28 trozos de cuerda.

Los matemáticos prefieren los radiantes

Porque los radianes se basan en la idea abstracta de «el radio puesto a lo largo de la circunferencia», y esto da resultados simples y naturales en cuestiones de ángulos.

Te dejo estos vídeos para mayor entendimiento:

Las razones trigonométricas seno, coseno, tangente, cosecante, secante y cotangente se definen usualmente sobre un triángulo rectángulo, pero esta definición se queda corta ya que es necesario encontrar dichas razones para ángulos que no pueden representarse en un triángulo rectángulo, tal como sucede con cualquier ángulo igual o mayor a 90 grados. Es por ello que se hace necesario predefinir estas razones haciendo uso del sistema cartesiano que nos ayuda a representar a cualquier ángulo entre 0 y 360 grados.

Los valores de las funciones trigonométricas solamente existen para ángulos comprendidos entre 0 y 90 grados, por eso las tablas trigonométricas solamente traen valores en ese intervalo. No existen tablas para ángulos mayores de 90 grados.

Vídeo para mayor entendimiento:

EJERCICIOS 

1.-

2.-

Vídeo para mayor entendimiento:

Las funciones trigonométricas de un triángulo rectángulo son las razones o relaciones entre sus lados.

Las funciones trigonométricas son algunas aplicaciones que nos ayudan en la resolución de triángulos rectángulos
Un triángulo tiene seis elementos: tres lados y tres ángulos. Resolver un triángulo consiste en calcular tres de los elementos cuando se conocen los otros tres, siempre que uno de ellos sea un lado.

Gráficas de las funciones trigonométricas

Si queremos representar en forma gráfica una función trigonométrica tomamos los valores de la variable independiente como abscisas y los valores de la función como ordenadas, obteniendo así una serie de puntos, los que al unirlos nos dará una línea que será la representación gráfica de la función.

Uso de la función seno: ésta se usa cuando en un triángulo rectángulo se conoce un ángulo agudo y el cateto opuesto, o un ángulo agudo y la hipotenusa, o el cateto  opuesto al ángulo dado.

Uso de la función coseno: si en un triángulo rectángulo conocemos un ángulo agudo y el cateto adyacente, o un ángulo agudo y la hipotenusa.

Podemos calcular el cateto adyacente al ángulo dado y la hipotenusa usando esta función.

Uso de la función tangente: si en un triángulo rectángulo conocemos un cateto y el ángulo adyacente a él podemos calcular el otro cateto.

Uso de la función cotangente: por lo tanto en todo triángulo rectángulo si conocemos un cateto y su ángulo opuesto podemos calcular el valor del otro mediante ésta.

Uso de la función secante: ésta se usa cuando se tiene lo contrario que en la función coseno.

Uso de la función cosecante: ésta se usa cuando se tiene lo contrario a la función seno.

Vídeo para mayor entendimiento:

Definiciones de las funciones trigonométricas

Consideremos la circunferencia de radio $h$ de la siguiente imagen:

• Definimos el coseno del ángulo $\alpha$ como:
  

  $$cos\left(\alpha \right)=\frac{a}{h}$$

  Es decir, el coseno es el cociente del cateto contiguo al ángulo $\alpha$ del triángulo y la hipotenusa $h$.

  

• Definimos el seno del ángulo $\alpha$ como:
  

  $$sin\left(\alpha \right)=\frac{b}{h}$$

  Es decir, el seno es el cociente del cateto opuesto al ángulo $\alpha$ del triángulo y la hipotenusa $h$.

  También podemos escribirlo como $sin\left(\alpha \right)$.

  

• Definimos la tangente del ángulo $\alpha$ como:
  

  $$tg\left(\alpha \right)=\frac{sin\left(\alpha \right)}{cos\left(\alpha \right)}$$

  Es decir, la tangente es el cociente del seno y del coseno.

  También podemos escribirla como $tan\left(\alpha \right)$.

  

  Observad que tanto el seno como el coseno son funciones continuas, mientras que la tangente no lo es. Los puntos donde la tangente no es continua son los ángulos para los que el coseno es 0 (porque el coseno está en el denominador de la definición de la tangente).

• Definimos la cosecante del ángulo $\alpha$ como:
  

  $$cosec\left(\alpha \right)=\frac{1}{sin\left(\alpha \right)}$$

  Es decir, la cosecante es el inverso multiplicativo del seno (no es lo mismo que la inversa del seno, que es $arcsin$).

  También podemos escribirla como $csc\left(\alpha \right)$.

• Definimos la secante del ángulo $\alpha$ como:
  

  $$sec\left(\alpha \right)=\frac{1}{cos\left(\alpha \right)}$$

  Es decir, la secante es el inverso multiplicativo del coseno (no es lo mismo que la inversa del coseno, que es $arcos$).

• Definimos la cotangente del ángulo $\alpha$ como:
  

  $$cotg\left(\alpha \right)=\frac{1}{tg\left(\alpha \right)}$$

  Es decir, la cotangente es el inverso multiplicativo de la tangente (no es lo mismo que la inversa de la tangente, que es $arctan$).

  También podemos escribirla como $cotan\left(\alpha \right)$ y $cot\left(\alpha \right)$.

   

  Vídeo para mayor entendimiento: https://www.youtube.com/watch?v=9lrw4qkglA4

Seno de la suma de dos ángulos

Sean a y b ángulos del primer cuadrante, vamos a ver que:

sen(a+b)=sen(a)cos(b)+cos(a)sen(b)

La restricción no quita generalidad a la fórmula pues siempre podemos reducir los ángulos del segundo, tercer y cuarto cuadrante al primero.

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El área de los triángulos T, P y Q valen:

T=1/2 h h₁ sen(a+b)

P=1/2 h m sen(a)

Q=1/2 h₁ m sen(b)

pero observemos que:

m = h₁cos(b)

m = h cos(a)

que sustituyendo en P y Q respectivamente, nos da:

P=1/2 h h₁ sen(a) cos(b)

Q=1/2 h h₁ sen(b) cos (a)

además sabemos que el área de T es igual al área de P más el área de Q, por tanto:

1/2 h h₁ sen(a+b) = 1/2 h h₁ sen(a) cos(b) + 1/2 h h₁ sen(b) cos(a)

de donde:

sen(a+b) = sen(a) cos(b) + sen(b) cos(a)

ejercicio.– Calcula el seno de 75º sin ayudarte de la calculadora.

 

Seno de la diferencia de dos ángulos

Cambiando b por -b, nos queda

sen(a-b) = sen(a) cos(-b) + sen(-b) cos(a)=

=sen(a) cos(b) – sen(b) cos(a)

sen(a-b) = sen(a) cos(b) – sen(b) cos(a)

Ley de los senos

La ley de los senos es la relación entre los lados y ángulos de triángulos no rectángulos (oblicuos). Simplemente, establece que la relación de la longitud de un lado de un triángulo al seno del ángulo opuesto a ese lado es igual para todos los lados y ángulos en un triángulo dado.

En ∆ABC es un triángulo oblicuo con lados a, b y c , entonces

Ley de los cosenos

La ley de los cosenos es usada para encontrar las partes faltantes de un triángulo oblicuo (no rectángulo) cuando ya sea las medidas de dos lados y la medida del ángulo incluído son conocidas (LAL) o las longitudes de los tres lados (LLL) son conocidas. En cualquiera de estos casos, es imposible usar la ley de los senos porque no podemos establecer una proporción que pueda resolverse.

La ley de los cosenos establece:

  c ² = a ² + b ² – 2 ab cos C .

Esto se parece al teorema de Pitágoras excepto que para el tercer término y si C es un ángulo recto el tercer término es igual 0 porque el coseno de 90° es 0 y se obtiene el teorema de Pitágoras. Así, el teorema de Pitágoras es un caso especial de la ley de los cosenos.

La ley de los cosenos también puede establecerse como

 b ² = a ² + c ² – 2 ac cos B or

 a ² = b ² + c ² – 2 bc cos A .

Video para mayor entendimiento: